📘 中学3年数学：図形「相似」

✅ 1. 単元の概要と学ぶ意義

「相似」とは、形は同じで大きさが異なる図形の関係を指します。縮小・拡大された図形が元の図形と対応する角が等しく、対応する辺の比が等しいとき、2つの図形は相似です。

相似の概念は、地図の縮尺・影の長さ・建築設計・遠近法など、実社会のあらゆる場面に応用される非常に重要な数学的スキルです。

✅ 2. 相似の定義と記号

2つの図形が、対応する角がすべて等しく、対応する辺の比がすべて等しいとき、これらは**相似（similar）**です。

相似の記号：
$△ A BC ∽ △ D EF$

このとき、

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
AB : DE = BC : EF = AC : DF

✅ 3. 相似な三角形の条件（3つ）

条件	内容	略称
① 2組の角がそれぞれ等しい	∠A = ∠D, ∠B = ∠E	AA（角角）条件
② 1組の辺の比とその両端の角が等しい	AB : DE = AC : DF、かつ ∠A = ∠D、∠C = ∠F	SAS条件
③ 3辺の比がすべて等しい	AB : DE = BC : EF = AC : DF	SSS条件

✅ 4. 基本例題と丁寧な解説

📌 例題①：相似条件の確認

問題：△ABCと△DEFにおいて、∠A = ∠D、∠B = ∠E のとき、△ABC ∽ △DEF となるか。

解答：2組の角が等しいので、相似（AA条件）
→ △ABC ∽ △DEF

📌 例題②：辺の比と角で相似を判断

問題：△ABCと△DEF において、AB : DE = 2 : 3、AC : DF = 4 : 6、∠A = ∠D
このとき相似か？

解答：AB : DE = 2 : 3
AC : DF = 4 : 6 = 2 : 3
角∠A = ∠D
→ 対応辺の比とその間の角が等しい → 相似（SAS条件）

📌 例題③：対応辺の比から長さを求める

問題：△ABC ∽ △DEF のとき、AB = 3cm、DE = 6cm、BC = 4cm のとき、EFの長さを求めよ。

解答：対応辺 AB : DE = 3 : 6 = 1 : 2
→ 同じ比で BC : EF = 1 : 2
→ EF = 4 × 2 = 8cm

✅ 5. 相似比・面積比・体積比

項目	比
相似比（長さ）	a : b
面積比	a² : b²
体積比（高校）	a³ : b³（高校範囲）

📌 例題④：面積比の利用

問題：△ABC ∽ △DEF、相似比が2 : 3 のとき、面積比は？

$2^2 : 3^2 = 4 : 9$

✅ 6. 応用問題（実生活・図形問題）

📌 応用①：影の長さ

問題：2mの棒の影の長さが1.2mのとき、同じ太陽の角度でできた木の影が3.6mあった。木の高さは？

解答：

相似な三角形
→ 高さ : 影 = 2 : 1.2 = x : 3.6

$21.2=x3.6→x=2×3.61.2=6\frac{2}{1.2} = \frac{x}{3.6} → x = \frac{2 × 3.6}{1.2} = 6$

答え：6m

📌 応用②：線分比を使う

問題：△ABCの辺BC上に点Dがあり、ADが頂点AからBCに引かれた直線で、△ABD ∽ △ACD のとき、BD : DC は？

解答：相似比 → AB : AC = BD : DC
（条件を利用して、相似から辺の比を設定できる）

📌 応用③：高さと相似を使う

問題：底辺10cmの三角形と底辺6cmの相似な三角形がある。大きい三角形の高さが8cmのとき、小さい方の高さは？

$\frac{3}{5} = 4.8cm$

🏋️‍♂️ 7. 演習問題（例題数多め）

🔹 基礎問題（10題）

∠A = ∠D、∠B = ∠E のとき、△ABCと△DEFは相似か？
辺AB : DE = 4 : 6、角∠A = ∠D、∠C = ∠F → 相似か？
△ABC ∽ △DEF、AB = 3、DE = 6。相似比は？
△ABC ∽ △DEF、BC = 5、EF = 10 → 相似比と面積比は？
相似比が3 : 4 のとき、面積比を求めよ

🔹 応用問題（10題）

影の長さが1.5m、棒の高さが2mのとき、影が4.5mある木の高さは？
△ABC ∽ △DEF、AB = 5、DE = 10、BC = 6 → EFは？
相似比2 : 3 のとき、大きい三角形の面積が27cm² → 小さい面積は？
相似比5 : 7、三角形の辺の長さが10cmのとき、対応辺の長さは？
相似な三角形で、1辺の比が3 : 2、高さが12cmのとき、小さい方の高さは？

✅ 8. 作図問題（図形構成）

📌 問題：

AB = 5cm、AC = 6cm、∠A = 60° の△ABCを作図し、ABの延長上に点Dをとって、AD = 10cmとなる△ADCを作図せよ（△ABC ∽ △ADC）

✅ 9. まとめとポイント

覚えるべき内容	ポイント
相似の条件	AA、SAS、SSS
対応の関係	辺と角のペアを正確に
相似比・面積比	長さ：a : b → 面積：a² : b²
応用	影の長さ、建物の高さなどに実用的

✅ 学習アドバイス

相似条件を即答できるよう暗記が必須
図を描くときは「対応の順序」を意識してミスを防ぐ
応用問題では「図を書く→比の式を立てる」をクセにすること

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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