📘 中学3年数学：関数「二次関数」

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✅ 1. 単元の概要と学ぶ意義

「二次関数」は、変数xの2乗を含む関数であり、そのグラフは直線ではなく**放物線（U字型）**になります。一次関数に続いて、グラフの理解と座標・変化の関係を深める重要な単元です。

現実では、投げた物の軌道や、建築・経済・物理現象などに広く使われており、将来の理系進学にも直結します。

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✅ 2. 二次関数の基本形と意味

🔷 【標準形】

y=ax2y = ax^2y=ax2

• $a>0$：上に開いたU字型

• $a<0$：下に開いた山型

この式は「原点を通る放物線」を表します。

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🔷 【一般形】

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c

• グラフはx軸との交点（解）や、頂点、軸などを含む複雑な形に

• 中学では主に「y = ax^2」のグラフと簡単な式変形までを扱う

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✅ 3. グラフの特徴

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✅ 4. 基本例題と詳しい解説

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📌 例題①：y = x² のグラフをかく

解法ステップ：

1. xの値に対応するyを求める

2. 表にまとめてプロット

3. 放物線になるような形を意識して滑らかにつなぐ

→ 原点を通る左右対称の放物線を描く

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📌 例題②：aによるグラフの違い

問題：y = 2x²、y = -x²、y = 0.5x² のグラフを比較せよ

ポイント：

• y = 2x²：急カーブ（aが大きい）

• y = -x²：下に開く放物線（aが負）

• y = 0.5x²：ゆるやかなカーブ

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📌 例題③：関数の変化の割合

問題：y = x² において、xが1から3に増加するとき、yの変化の割合は？

x=1→y=1,x=3→y=9変化の割合=9−13−1=82=4x = 1 → y = 1,\quad x = 3 → y = 9 変化の割合 = \frac{9 – 1}{3 – 1} = \frac{8}{2} = 4x=1→y=1,x=3→y=9変化の割合=3−19−1​=28​=4

→ 二次関数では変化の割合は一定でないことに注意！

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✅ 5. 応用例題（実戦形式）

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📌 応用①：放物線上の点を求める

問題：y = x² 上の点で、x = -3, 2 のときのyの値を求めよ

解答：
x = -3 → y = 9
x = 2 → y = 4

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📌 応用②：関数の式を求める（点を通る）

問題：y = ax² のグラフが点(2, 8)を通るとき、aの値を求めよ。

y=ax2→8=a×4→a=2y = ax^2 → 8 = a×4 → a = 2y=ax2→8=a×4→a=2

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📌 応用③：文章題

問題：ボールを投げたときの高さh（m）は、時間t（秒）について

h=−5t2+20th = -5t^2 + 20th=−5t2+20t

と表される。最高点に達するのは何秒後か。また、そのときの高さは？

解答：

• 軸の公式：x = −b2a=−202×(−5)=2\frac{-b}{2a} = \frac{-20}{2×(-5)} = 22a−b​=2×(−5)−20​=2

• t = 2秒後 → h = -5×4 + 20×2 = -20 + 40 = 20m

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✅ 6. 典型問題の演習（多めに）

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🔹 基礎練習（10題）

1. y = x² において、x = -1, 0, 1, 2 のときのyを求めよ

2. y = -x² のグラフはどんな形か？

3. y = 3x² の放物線は、y = x²と比べてどうなるか？

4. x = 0 のとき y = 0 となる二次関数を1つ書け

5. y = ax² が点(1, 4)を通るときのaの値を求めよ

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🔹 応用練習（10題）

6. 放物線 y = -2x² の頂点の座標は？

7. y = x² のx = 2とx = -2のときの変化の割合は？

8. y = ax² が点(3, 27)を通るとき、aを求めよ

9. 放物線 y = 0.5x² のx = 1〜3の増加における変化の割合を求めよ

10. 関数 y = -4x² + 8x の最大値とそのときのxを求めよ（※発展）

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✅ 7. 発展問題（実戦的）

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📌 発展①：最大・最小を求める

問題：y = -x² + 6x – 5 の最大値を求めよ

解法：

• 軸：x = −62×(−1)=3\frac{-6}{2×(-1)} = 32×(−1)−6​=3

• y = -3² + 6×3 – 5 = -9 + 18 – 5 = 4

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📌 発展②：xの範囲で条件を満たす

問題：y = x² において、y < 9 となるxの範囲は？

x2<9→−3<x<3x^2 < 9 → -3 < x < 3x2<9→−3<x<3

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✅ 8. まとめと要点整理

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✅ 学習アドバイス

• xとyの関係を表でまとめてからグラフを描くと精度と理解がUP

• aの符号で放物線の向きが決まることを何度も確認しよう

• 頂点や変化の割合を自分で計算して感覚的に覚える練習を重ねよう

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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