📘 中学3年数学：数と式「平方根」

✅ 1. 単元の概要と意義

「平方根」は、中学3年から登場する新しいタイプの数で、**“数の根っこ”**を扱う単元です。
特に「ルート（√）」という記号が登場し、整数や小数では表せない無理数を扱うようになります。

平方根の概念を理解することで、方程式・二次関数・三平方の定理など高等数学の基礎となる力が育ちます。

✅ 2. 平方根とは？

🔷 【定義】

ある数 $a$ に対して、

x^2 = a

を満たす数 $x$ を「aの平方根」といいます。

例： $x^2 = 9$ のとき、 $x = 3, - 3$ → どちらも9の平方根

したがって、

9=3,でも±9=±3\sqrt{9} = 3,\quad \text{でも} \pm\sqrt{9} = \pm3

🔷 【記号の意味】

$a\sqrt{a}$ ：正の平方根
$±a\pm\sqrt{a}$ ：正と負の平方根の両方

✅ 3. 平方根の基本的な性質と分類

数	平方根の形	説明
4	$4=2\sqrt{4} = 2$	2² = 4 なので2が平方根
2	$2≒1.414…\sqrt{2} ≒ 1.414…$	無理数（小数で表せない）
0.25	$0.25=0.5\sqrt{0.25} = 0.5$	小数でも平方根は取れる

🔷 平方根を持つ数の分類

種類	例	特徴
有理数	1, 4, 0.25	分数で表せる平方根あり
無理数	$2,3,π\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$	小数で表せない（循環しない）

✅ 4. 有理化とは？

分母にルートがあると扱いにくいため、ルートを分母からなくす操作を「有理化」と呼びます。

🔷 例：

12=12×22=22\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} × \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

✅ 5. 計算の基本

📌 加減（同じルートだけまとめられる）

$2+32=42\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
$2+3\sqrt{2} + \sqrt{3}$ はまとめられない（異なるルート）

📌 乗除（掛け算・割り算）

$2×3=6\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
$123=4=2\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$

📌 ルートの中を簡単にする

$12=4×3=4×3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{4} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$18=9×2=32\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$

✅ 6. 基本例題と解説

📌 例題①：平方根の計算

問題：次の平方根を求めなさい（必要なら簡単な形にする）

$49\sqrt{49}$ → 7
$20\sqrt{20}$ → $4×5=25\sqrt{4×5} = 2\sqrt{5}$
$2+22\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$ → $323\sqrt{2}$
$8×2\sqrt{8} × \sqrt{2}$ → $16=4\sqrt{16} = 4$

📌 例題②：有理化

問題：

$13\frac{1}{\sqrt{3}}$
$325\frac{3}{2\sqrt{5}}$

解答：

$33\frac{\sqrt{3}}{3}$
$325×55=3510\frac{3}{2\sqrt{5}} × \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

📌 例題③：平方根を含む方程式

問題：

x2=25⇒x=±25=±5x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm\sqrt{25} = \pm5

✅ 7. 応用問題（入試対応）

📌 応用①：平方根の近似値

問題： $5\sqrt{5}$ は小数でおよそいくら？

解答： $4=2\sqrt{4} = 2$ 、 $9=3\sqrt{9} = 3$ の間
計算機や暗算で： $5≒2.236\sqrt{5} ≒ 2.236$

📌 応用②：次の数が有理数か無理数か

$36\sqrt{36}$ → 有理数（=6）
$50\sqrt{50}$ → 無理数（=約7.07）
$23\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ → 無理数
$122\frac{\sqrt{12}}{2}$ → $232=3\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ ：無理数

📌 応用③：文章題（面積）

問題：面積が20cm²の正方形の1辺の長さを求めよ。

解答：
正方形の面積＝1辺×1辺
→ $x^2 = 20$
→ $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

🏋️‍♂️ 8. 練習問題（10題）

🔹 基礎

$64\sqrt{64}$ の値を求めよ
$45\sqrt{45}$ を最も簡単な形にせよ
$2+32−2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} – \sqrt{2}$
$6×3\sqrt{6} × \sqrt{3}$
$17\frac{1}{\sqrt{7}}$ を有理化せよ

🔹 応用

$8÷2\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$ を簡単にせよ
$312\frac{3}{\sqrt{12}}$ を有理化せよ
$18+28\sqrt{18} + 2\sqrt{8}$ を最も簡単な形に
次の数のうち有理数をすべて選べ： $36,2,5,π\sqrt{36}, \sqrt{2}, 5, \pi$
面積が50cm²の正方形の1辺の長さを√を使って表せ

✅ 9. まとめと重要ポイント

用語	解説
平方根	ある数を2乗すると元に戻る「根」
ルート記号	√（正の平方根）
有理化	分母にルートをなくす操作
有理数・無理数	分数で表せる／表せない数の違い

✅ 学習アドバイス

ルートの中を「素因数分解して簡単化」するのが大切
分母のルートは有理化必須
加減法では「同じルートだけ計算可能」に注意！

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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