📘 中学2年数学：図形「合同・三角形と四角形の性質」
✅ 1. 単元の概要と重要性
図形の「合同」とは、大きさも形も全く同じ図形であるという意味です。見た目が違っても、回転・裏返し・平行移動などで一致すれば「合同」となります。
さらに、この単元では**三角形や四角形の各部の性質（角・辺・対角線）**を学び、証明問題や作図などへと発展していきます。
✅ 2. 合同とは？
2つの図形が大きさも形も等しいとき、合同といいます。
🔷 記号の表し方：
△ABC≡△DEF△ABC ≡ △DEF
これは、「△ABCと△DEFは合同である」という意味。
✅ 3. 三角形の合同条件
三角形の合同を証明するには、以下のいずれかの条件が必要です。
| 番号 | 合同条件 | 説明 |
|---|---|---|
| ① | 1辺とその両端の角がそれぞれ等しい | SASの形 |
| ② | 2辺とその間の角がそれぞれ等しい | ASAの形 |
| ③ | 3辺がそれぞれ等しい | SSSの形 |
🔷 よく出る形
-
二等辺三角形：2辺が等しい → 対する角も等しい
-
正三角形：すべての辺と角が等しい
✅ 4. 四角形の性質
特に中学では、平行四辺形・ひし形・長方形・正方形などの性質を覚える必要があります。
🔷 平行四辺形の性質
| 性質 | 内容 |
|---|---|
| 対辺が平行で等しい | AB∥CD、AB = CD など |
| 対角が等しい | ∠A = ∠C |
| 対角線が交わってそれぞれの中点で交わる | 対角線は互いを2等分 |
🔷 長方形・ひし形・正方形の追加性質
| 図形 | 性質 |
|---|---|
| 長方形 | 直角4つ、対角線が等しい |
| ひし形 | 全ての辺が等しい、対角線が直交 |
| 正方形 | 長方形とひし形の両方の性質 |
✅ 5. 基本例題と解き方
📌 例題①：三角形の合同
問題：△ABCと△DEFにおいて、
AB = DE、AC = DF、∠A = ∠D のとき、△ABC ≡ △DEF となるか？
解き方：
-
1辺とその両端の角が等しい → 合同条件①を満たす
→ よって、合同である
📌 例題②：平行四辺形の性質
問題：平行四辺形ABCDにおいて、AB = 5cm、BC = 3cm のとき、CDの長さは？
答え：AB∥CD かつ AB = CD → CD = 5cm
📌 例題③：証明問題
問題：△ABCと△DEFについて、
AB = DE、BC = EF、∠B = ∠E であるとき、△ABC ≡ △DEFを証明せよ。
解答例：
-
AB = DE （仮定）
-
BC = EF （仮定）
-
∠B = ∠E（仮定）
→ よって、2辺とその間の角が等しい → △ABC ≡ △DEF
✅ 6. 応用問題（文章題・作図含む）
📌 応用①：三角形の合同による角度計算
問題：△ABCと△DEFが合同であり、∠A = 40°、∠B = 60°のとき、∠Cの大きさは？
解答：三角形の内角の和は180°
→ ∠C = 180 – 40 – 60 = 80°
📌 応用②：作図問題
問題：AB = 5cm、BC = 6cm、∠ABC = 60° の三角形ABCを作図せよ。
手順：
-
直線上に点Bをとり、AB = 5cmの点Aを定規でとる
-
∠ABC = 60°の角を分度器で測る
-
BC = 6cmの点Cを取って、△ABCを完成
📌 応用③：四角形の条件と証明
問題：四角形ABCDにおいて、AB∥CD かつ AB = CD、AD = BC のとき、ABCDは平行四辺形であることを証明せよ。
解答例：
-
AB∥CD（仮定）
-
AB = CD、AD = BC（対辺が等しい）
→ 一組の対辺が平行かつ等しい → 平行四辺形の条件を満たす
→ よって、ABCDは平行四辺形
🏋️♂️ 7. 練習問題（10題）
🔹 合同問題
-
次の図形が合同であるか、理由もつけて答えなさい。
-
2辺とその間の角が等しいとき、三角形は合同になるか？
-
AB = DE、∠A = ∠D、AC = DF のとき、合同になるか？
🔹 性質の確認
-
平行四辺形の対角線の性質を述べよ
-
長方形の角の特徴を答えよ
-
ひし形と長方形の共通点と相違点を列挙せよ
🔹 証明・作図系
-
△ABC ≡ △DEF を示すために必要な条件をすべて答えよ
-
四角形ABCDが平行四辺形である条件を1つ挙げよ
-
AB = 5cm、BC = 6cm、∠ABC = 60° の三角形の作図手順を述べよ
-
対角線が垂直に交わり、すべての辺が等しい四角形の名前は？
✅ 8. まとめとポイント
| 覚えるべき内容 | ポイント |
|---|---|
| 三角形の合同条件 | SAS、ASA、SSSの3つ |
| 平行四辺形の性質 | 対辺＝、対角＝、対角線は中点で交わる |
| 長方形・ひし形 | 対角線や角度の違いに注目 |
| 正方形 | 長方形×ひし形＝正方形 |
✅ 学習アドバイス
-
合同条件を覚えてパターン認識力を高めることが重要です。
-
作図問題は手順を順番に整理して覚える練習をしましょう。
-
証明は、「仮定→使える定理→結論」の三段構成で書くと綺麗です。
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| 【監修者】 | 宮川涼 |
| プロフィール | 早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。 |
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