📘 単元：比例・反比例の式とグラフ

✅ 1. 公式と基本事項

◎ 比例の公式

• $y$ は $x$ に比例する。

• $a$：比例定数（傾き）

• グラフは原点を通る直線。

◎ 反比例の公式

• $y$ は $x$ に反比例する。

• $a$：反比例定数

• グラフは2本の双曲線（双曲線の形で、x軸y軸に対して対称）

✅ 2. 解き方の考え方

◎ 比例の場合：

1. 「$y$ は $x$ に比例する」と書かれていたら、
   　→ $y=ax$ の形にあてはめる。

2. 比例定数 $a$ を、ある $x,y$ の値から
   　→ a=yxa = \frac{y}{x}a=xy​ で求める。

3. 式ができたら、代入して他の値も求める。

◎ 反比例の場合：

1. 「$y$ は $x$ に反比例する」とあれば、
   　→ y=axy = \frac{a}{x}y=xa​ の形にする。

2. 反比例定数 $a$ は
   　→ $a=x\times y$ で求める。

3. あとは式に代入して計算する。

✅ 3. 基本例題（途中式付き）

📌 例題1（比例）

「$y$ は $x$ に比例し、$x=4$ のとき $y=10$ です。比例の式を求め、$x=6$ のときの $y$ を求めなさい。」

【解き方】

1. $y=ax$ とおく

2. $x=4,y=10$ を代入して
   　→ $10=4a$
   　→ a=104=2.5a = \frac{10}{4} = 2.5a=410​=2.5

3. よって比例の式：
   　→ $y=2.5x$

4. $x=6$ を代入：
   　→ $y=2.5\times 6=15$

【解答】

• 式：$y=2.5x$

• $x=6$ のとき $y=15$

📌 例題2（反比例）

「$y$ は $x$ に反比例し、$x=5$ のとき $y=6$ です。反比例の式を求め、$x=3$ のときの $y$ を求めなさい。」

【解き方】

1. y=axy = \frac{a}{x}y=xa​ とおく

2. 6=a56 = \frac{a}{5}6=5a​ より
   　→ $a=6\times 5=30$

3. 式：y=30xy = \frac{30}{x}y=x30​

4. $x=3$ のとき
   　→ y=303=10y = \frac{30}{3} = 10y=330​=10

【解答】

• 式：y=30xy = \frac{30}{x}y=x30​

• $x=3$ のとき $y=10$

✅ 4. 練習問題とその解答

🎯 練習問題①（比例）

問題：「$y$ は $x$ に比例し、$x=-2$ のとき $y=6$ です。比例の式を求め、$x=5$ のときの $y$ を求めなさい。」

解答：

1. $y=ax$ に代入
   　→ $6=a(-2)$
   　→ $a=-3$

2. 式：$y=-3x$

3. $x=5$：$y=-3\times 5=-15$

• 答え：式 $y=-3x$、$x=5$ のとき $y=-15$

🎯 練習問題②（反比例）

問題：「$y$ は $x$ に反比例し、$x=-4$ のとき $y=-8$ です。反比例の式を求め、$x=2$ のときの $y$ を求めなさい。」

解答：

1. y=axy = \frac{a}{x}y=xa​、−8=a−4-8 = \frac{a}{-4}−8=−4a​
   　→ $a=(-8)\times (-4)=32$

2. 式：y=32xy = \frac{32}{x}y=x32​

3. $x=2$：y=322=16y = \frac{32}{2} = 16y=232​=16

• 答え：式 y=32xy = \frac{32}{x}y=x32​、$x=2$ のとき $y=16$

✅ 5. グラフの特徴（補足）

● 比例のグラフ：

• 原点（0,0）を通る直線

• $a>0$ のとき右上がり、$a<0$ のとき右下がり

● 反比例のグラフ：

• x軸とy軸に近づいていく双曲線

• $a>0$：第1・第3象限

• $a<0$：第2・第4象限

✅ 補足：実生活の例

ryomiyagawa Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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