関数の概念・変数と変域

📘 単元：関数の概念・変数と変域

🔹 1. 公式と基本事項

✅ 関数とは：

1つの変数（入力） $x$ に対して、それに対応するもう1つの変数（出力） $y$ がただ1つ決まるとき、 $y$ は $x$ の関数という。

✅ よく使われる関数の例：

$y = 2 x$
$y = x + 5$
$\frac{x}{3} – 1$

✅ 変域（へんいき）：

関数において「変数がとる値の範囲」のこと。

$x$ の変域：入力（独立変数）の取り得る範囲
$y$ の変域：出力（従属変数）の取り得る範囲

🔹 2. 解き方の考え方

関数の式を確認する
　→ 「 $y = 2 x$ 」のように、どのように $x$ に対応して $y$ が決まるかを理解。
変域が指定された場合は、対応する $x$ の値を代入して $y$ を求める
全ての $x$ に対応する $y$ の値をリスト化し、最大・最小を調べると $y$ の変域が求まる

📝 基本例題と解答（途中式あり）

例題1：

関数 $y = 3 x - 2$ において、 $x$ の変域が $\leq x \leq 3$ のとき、 $y$ の変域を求めなさい。

解き方：

x=−1⇒y=3(−1)−2=−3−2=−5x=0⇒y=3(0)−2=0−2=−2x=1⇒y=3(1)−2=3−2=1x=2⇒y=3(2)−2=6−2=4x=3⇒y=3(3)−2=9−2=7\begin{align*} x = -1 &\Rightarrow y = 3(-1) – 2 = -3 – 2 = -5 \\ x = 0 &\Rightarrow y = 3(0) – 2 = 0 – 2 = -2 \\ x = 1 &\Rightarrow y = 3(1) – 2 = 3 – 2 = 1 \\ x = 2 &\Rightarrow y = 3(2) – 2 = 6 – 2 = 4 \\ x = 3 &\Rightarrow y = 3(3) – 2 = 9 – 2 = 7 \end{align*}

解答：

$x$ の変域： $\leq x \leq 3$
$y$ の変域： $\leq y \leq 7$

🏋️ 練習問題と解答

問題1：

関数 $y = - 2 x + 4$ において、 $x$ の変域が $\leq x \leq 4$ のとき、 $y$ の変域を求めなさい。

解答：

x=0⇒y=−2(0)+4=4x=1⇒y=−2(1)+4=2x=2⇒y=−2(2)+4=0x=3⇒y=−2(3)+4=−2x=4⇒y=−2(4)+4=−4\begin{align*} x = 0 &\Rightarrow y = -2(0) + 4 = 4 \\ x = 1 &\Rightarrow y = -2(1) + 4 = 2 \\ x = 2 &\Rightarrow y = -2(2) + 4 = 0 \\ x = 3 &\Rightarrow y = -2(3) + 4 = -2 \\ x = 4 &\Rightarrow y = -2(4) + 4 = -4 \end{align*}

$y$ の変域： $\leq y \leq 4$

問題2：

関数 $\frac{1}{2}x + 1$ において、 $x = - 2, - 1, 0, 1, 2$ のときの対応する $y$ の値を求めなさい。また、変域も答えなさい。

解答：

x=−2⇒y=12(−2)+1=−1+1=0x=−1⇒y=12(−1)+1=−0.5+1=0.5x=0⇒y=0+1=1x=1⇒y=0.5+1=1.5x=2⇒y=1+1=2\begin{align*} x = -2 &\Rightarrow y = \frac{1}{2}(-2) + 1 = -1 + 1 = 0 \\ x = -1 &\Rightarrow y = \frac{1}{2}(-1) + 1 = -0.5 + 1 = 0.5 \\ x = 0 &\Rightarrow y = 0 + 1 = 1 \\ x = 1 &\Rightarrow y = 0.5 + 1 = 1.5 \\ x = 2 &\Rightarrow y = 1 + 1 = 2 \end{align*}

$y$ の変域： $\leq y \leq 2$

🧠 まとめ

関数は「一つの $x$ に対して、一つの $y$ が決まる関係」
変域は「変数がとる値の範囲」
指定された $x$ の値を代入して $y$ を計算するのが基本ステップ
グラフと併用すると理解がより深まる

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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ryomiyagawa Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

【監修】筑波大学　真栄城哲也　十文字女子大学　長田瑞恵

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