📘 単元：比例・反比例のグラフの特徴と利用（文章題）

✅ 1. 公式と基本事項

◎ 比例の式とグラフ：

• 直線グラフ

• 原点（0,0）を通る

• 傾きは比例定数 $a$ に等しい

◎ 反比例の式とグラフ：

• 双曲線グラフ

• 原点は通らない

• $x$ 軸・$y$ 軸のどちらにも近づくが交わらない（漸近線）

✅ 2. 解き方の考え方（文章題）

1. 「比例する」「反比例する」の文言を見つける
   　→ それぞれ、式 $y=ax$、y=axy = \frac{a}{x}y=xa​ に対応。

2. 与えられた条件（数値）から定数 $a$ を求める

• 比例：a=yxa = \frac{y}{x}a=xy​

• 反比例：$a=x\cdot y$

3. グラフを利用して読み取る or 式に代入して他の値を求める

📝 基本例題（途中式付き）

📌 例題1：比例・文章題（グラフ利用）

問題：ある商品は、1個あたりの価格が一定であり、購入する個数と代金は比例します。3個で600円だったとき、10個買うと代金はいくらになりますか。また、グラフはどのような形になりますか。

【解き方】

1. 比例の式：$y=ax$

2. $x=3,y=600$ を代入して、
   　→ $600=3a$
   　→ $a=200$（1個200円）

3. $x=10$ のとき
   　→ $y=200\times 10=2000$

【グラフの特徴】

• 原点（0,0）を通り、直線

• 傾き：200（1個増えるごとに200円増）

【解答】

• 式：$y=200x$

• 10個：2000円

• グラフ：右上がりの直線、原点を通る

📌 例題2：反比例・文章題（グラフ利用）

問題：一定の仕事を終えるのにかかる時間は、作業する人数に反比例します。5人で終えるのに6時間かかったとき、10人では何時間かかるか。また、グラフの形は？

【解き方】

1. 反比例の式：y=axy = \frac{a}{x}y=xa​

2. $x=5,y=6$ → $a=5\times 6=30$

3. 式：y=30xy = \frac{30}{x}y=x30​

4. $x=10$ → y=3010=3y = \frac{30}{10} = 3y=1030​=3

【グラフの特徴】

• 原点を通らない双曲線

• $x,y$ 軸に近づくが交わらない

• $x$ が増えると $y$ は減少（逆の関係）

【解答】

• 式：y=30xy = \frac{30}{x}y=x30​

• 10人：3時間

• グラフ：双曲線（第1象限）

🏋️ 練習問題とその解答

🎯 練習問題①（比例）

問題：水道代は使った水の量に比例します。10㎥使うと2800円でした。このときの比例の式を求め、25㎥使ったときの水道代を求めなさい。

解答：

• $y=ax$、2800 = 10a → $a=280$

• 式：$y=280x$

• $x=25$：$y=280\times 25=7000$

• 答え：7000円

🎯 練習問題②（反比例）

問題：一定の仕事を終える時間は人数に反比例します。6人で作業すると5時間かかるとき、15人で行うと何時間かかるか。

解答：

• $a=6\times 5=30$

• 式：y=30xy = \frac{30}{x}y=x30​

• $x=15$：y=3015=2y = \frac{30}{15} = 2y=1530​=2

• 答え：2時間

✅ まとめ

ryomiyagawa Founder

早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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