📘 中学2年数学：方程式「連立方程式」

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✅ 1. 単元の概要と学ぶ意味

中学2年で登場する「連立方程式」は、2つの文字（未知数）を同時に解く方法です。日常生活の問題（速さ・割合・個数の問題など）や、将来の高校数学でも頻繁に使うため、基本の考え方と解き方を正確に身につけておく必要があります。

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✅ 2. 連立方程式とは？

2つの一次方程式がセットになっていて、2つの文字（変数）に共通する値（解）を求めることが目的です。

◾ 例：

{x+y=10x−y=4\begin{cases} x + y = 10 \\ x – y = 4 \end{cases}{x+y=10x−y=4​

この2本の式が同時に成り立つ $x$ と $y$ の組を求める。

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✅ 3. 主な解き方（2通り）

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▶① 加減法（式を足したり引いたりして片方の文字を消す）

🔷 基本手順：

1. 文字の係数をそろえる（必要があれば式をかけ算）

2. 式を足すか引いて、1つの文字を消去

3. 残った文字を解く

4. その値を元の式に代入してもう一つの文字を解く

◾ 例題1：

{x+y=8x−y=2\begin{cases} x + y = 8 \\ x – y = 2 \end{cases}{x+y=8x−y=2​

→ 式を足すと：

$$(1)+(2)\to 2x=10\to x=5\to x=5を(1)に代入：5+y=8\to y=3$$

答え：x = 5, y = 3

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▶② 代入法（片方の式から一方を解いて、もう一方に代入）

🔷 基本手順：

1. どちらかの式から1文字を他方の文字で表す

2. それをもう1本の式に代入

3. 解いた文字を元の式に代入して、もう一方を求める

◾ 例題2：

{x+y=72x−y=1\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x – y = 1 \end{cases}{x+y=72x−y=1​

→ (1) より y = 7 – x
→ それを (2) に代入：

2x−(7−x)=1⇒2x−7+x=1⇒3x=8⇒x=83→y=7−83=21−83=1332x – (7 – x) = 1 \Rightarrow 2x – 7 + x = 1 \Rightarrow 3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3} → y = 7 – \frac{8}{3} = \frac{21 – 8}{3} = \frac{13}{3}2x−(7−x)=1⇒2x−7+x=1⇒3x=8⇒x=38​→y=7−38​=321−8​=313​

答え：x = 8/3, y = 13/3

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✅ 4. 応用問題（文章題）

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📌 応用問題1（鶴亀算）

問題：鶴と亀が合わせて10匹、足の数は28本でした。鶴と亀の数は？

解き方：

鶴を x 匹、亀を y 匹とする

{x+y=102x+4y=28\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 28 \end{cases}{x+y=102x+4y=28​

→ (1) を2倍：$2x+2y=20$
→ (2)から引く：$2x+4y-2x-2y=28-20=8$
→ $2y=8\Rightarrow y=4$
→ $x=6$

答え：鶴6匹、亀4匹

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📌 応用問題2（代金の問題）

問題：りんごを2個とみかんを3個買って合計300円、りんごを3個とみかんを2個で合計320円。りんごとみかんの値段は？

式：

りんごをx円、みかんをy円とする

{2x+3y=3003x+2y=320\begin{cases} 2x + 3y = 300 \\ 3x + 2y = 320 \end{cases}{2x+3y=3003x+2y=320​

→ (1)×3：$6x+9y=900$
→ (2)×2：$6x+4y=640$
→ 引くと：$5y=260\to y=52$
→ x = (300 – 3×52)/2 = (300 – 156)/2 = 72

答え：りんご72円、みかん52円

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🏋️‍♂️ 5. 練習問題（10題）

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🔹 基本練習（加減法・代入法）

{x+y=12x−y=4\begin{cases} x + y = 12 \\ x – y = 4 \end{cases}{x+y=12x−y=4​

{2x+y=7x−y=1\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x – y = 1 \end{cases}{2x+y=7x−y=1​

{3x+2y=162x−y=1\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x – y = 1 \end{cases}{3x+2y=162x−y=1​

{4x−y=53x+2y=12\begin{cases} 4x – y = 5 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}{4x−y=53x+2y=12​

{x+2y=52x−y=4\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x – y = 4 \end{cases}{x+2y=52x−y=4​

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🔹 応用練習（文章題）

6. ノートとペンを合わせて8個買って480円。ノート1冊とペン1本の値段を求めよ。

7. クラスで男子12人、女子18人がいます。男子全員が英語、女子全員が数学の授業を受け、合計授業時間が480分。男子の授業時間は1人x分、女子は1人y分。x, yを求めよ。

8. 大人2人と子供3人で公園に入場すると1,800円。大人3人と子供2人で入場すると2,000円。入場料は？

9. ある数の2倍と、別の数の3倍の和が31。2つの数の差は3。2つの数を求めよ。

10. ある商品を2個と別の商品を3個で2,100円。同じ2品を3個と2個買ったら2,200円。商品の価格を求めよ。

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✅ 6. まとめとアドバイス

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✅ 学習アドバイス

• 式の整理を正確に行うクセをつけましょう。

• 加減法と代入法は状況に応じて使い分けが必要。

• 計算ミスを減らすには、途中式を省略せず書くこと。

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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