📘 中学3年数学：数と式「二次方程式」

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✅ 1. 単元の概要と学ぶ意義

「二次方程式」は、文字に2乗が含まれる方程式のことを指します。これまで学んだ一次方程式とは異なり、解が2つになることが多いのが特徴です。

二次方程式の考え方は、関数（グラフ）や図形、物理現象の数式化など、様々な分野の土台となります。高校数学や実生活（例：投げたボールの軌道）にも密接に関係します。

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✅ 2. 二次方程式の定義

🔷 【標準形】

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)ax2+bx+c=0(a=0)

ここで：

• $a$：2乗の係数（ゼロでない）

• $b$：xの係数

• $c$：定数項

このような形をした式を「二次方程式」と呼びます。

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✅ 3. 解き方の3つの方法

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▶① 因数分解を使う方法

x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0x2+5x+6=0

因数分解できるときは、最も簡単。

$$(x+2)(x+3)=0\Rightarrow x=-2,-3$$

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▶② 解の公式を使う方法（因数分解できないとき）

ax2+bx+c=0の解は、ax^2 + bx + c = 0 \quad の解は、ax2+bx+c=0の解は、 x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

この式は「解の公式」と呼ばれ、すべての二次方程式に適用できます。

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▶③ 平方完成を使う方法（応用）

x2+4x+1=0x^2 + 4x + 1 = 0x2+4x+1=0 x2+4x=−1⇒x2+4x+4=3⇒(x+2)2=3⇒x=−2±3x^2 + 4x = -1 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 3 \Rightarrow (x + 2)^2 = 3 \Rightarrow x = -2 \pm \sqrt{3}x2+4x=−1⇒x2+4x+4=3⇒(x+2)2=3⇒x=−2±3​

平方完成は、解の公式の導出にも使われる大事な考え方です。

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✅ 4. 判別式（D）による解の個数の分類

D=b2−4acD = b^2 – 4acD=b2−4ac

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✅ 5. 基本例題と解説

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📌 例題①：因数分解で解く

問題：x2−7x+12=0x^2 – 7x + 12 = 0x2−7x+12=0

$$(x-3)(x-4)=0\Rightarrow x=3,4$$

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📌 例題②：解の公式で解く

問題：2×2+3x−2=02x^2 + 3x – 2 = 02x2+3x−2=0

a=2,b=3,c=−2⇒D=32−4×2×(−2)=9+16=25⇒x=−3±252×2=−3±54⇒x=24=12,x=−84=−2a = 2, b = 3, c = -2 \Rightarrow D = 3^2 – 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2×2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \Rightarrow x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{-8}{4} = -2a=2,b=3,c=−2⇒D=32−4×2×(−2)=9+16=25⇒x=2×2−3±25​​=4−3±5​⇒x=42​=21​,x=4−8​=−2

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📌 例題③：平方完成で解く

問題：x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0x2+6x+5=0

x2+6x=−5⇒x2+6x+9=4⇒(x+3)2=4⇒x=−3±2⇒x=−1,−5x^2 + 6x = -5 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = 4 \Rightarrow (x + 3)^2 = 4 \Rightarrow x = -3 \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5x2+6x=−5⇒x2+6x+9=4⇒(x+3)2=4⇒x=−3±2⇒x=−1,−5

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✅ 6. 応用問題

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📌 応用①：文章題（面積）

問題：縦が $x$ cm、横が $x+2$ cm の長方形がある。面積が48cm²のとき、xの値を求めよ。

x(x+2)=48⇒x2+2x−48=0⇒(x+8)(x−6)=0⇒x=−8,6※x>0⇒答え：x=6x(x + 2) = 48 \Rightarrow x^2 + 2x – 48 = 0 \Rightarrow (x + 8)(x – 6) = 0 \Rightarrow x = -8, 6 ※ x > 0 ⇒ 答え：x = 6x(x+2)=48⇒x2+2x−48=0⇒(x+8)(x−6)=0⇒x=−8,6※x>0⇒答え：x=6

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📌 応用②：図形問題（辺の長さ）

問題：正方形の1辺を $x$ cmとすると、周の長さは $4x$ cm、面積は x2x^2x2 cm²。
ある正方形の周の長さが24cm、面積は？

4x=24→x=6→面積=x2=36cm24x = 24 → x = 6 → 面積 = x^2 = 36cm²4x=24→x=6→面積=x2=36cm2

逆に、面積が49cm²なら、

x2=49→x=±7⇒答え：7（長さは正）x^2 = 49 → x = \pm7 ⇒ 答え：7（長さは正）x2=49→x=±7⇒答え：7（長さは正）

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📌 応用③：速さの問題

問題：ある距離をx km/hで行くと2時間、(x+5) km/hで行くと1.5時間。距離を求めよ。

$$x\times 2=(x+5)\times 1.5\to 2x=1.5x+7.5\to 0.5x=7.5\to x=15\to 距離=2\times 15=30km$$

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🏋️‍♂️ 7. 練習問題（10題）

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🔹 基礎問題

1. x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0x2+5x+6=0 を解け（因数分解）

2. x2−2x−15=0x^2 – 2x – 15 = 0x2−2x−15=0 を解け

3. 2×2+3x−2=02x^2 + 3x – 2 = 02x2+3x−2=0 を解の公式で解け

4. x2+6x+9=0x^2 + 6x + 9 = 0x2+6x+9=0 の解を求めよ

5. x2+4x=0x^2 + 4x = 0x2+4x=0 を解け（共通因数）

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🔹 応用問題

6. x2−3x=10x^2 – 3x = 10x2−3x=10 を解け（移項してから因数分解）

7. 3×2−5x+2=03x^2 – 5x + 2 = 03x2−5x+2=0 を解の公式で解け

8. 縦x cm、横x+3 cmの長方形の面積が40cm²。xを求めよ

9. 正方形の面積が49cm²のとき、1辺の長さを求めよ

10. x2=−4x^2 = -4x2=−4 の解を答えよ（中学では「解なし」）

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✅ 8. まとめとポイント

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✅ 学習アドバイス

• 因数分解で解ける形は早く見抜く練習を！

• 解の公式は暗記必須。使い方にも慣れよう。

• 図形や文章題では**「xの式」をしっかり作る力**が大切。

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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