📘 中学2年数学：式の計算「式の展開・因数分解」

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✅ 1. 単元の概要と学習の意義

中学2年生で学ぶ「式の展開」と「因数分解」は、これから先の高校数学や実生活の中でも非常に頻繁に登場する重要単元です。展開と因数分解は、まさに「逆の操作関係」にあるため、両方をセットで学ぶことで理解が深まります。

• 展開：かっこを外して、項を広げていく操作（掛け算を加法の形に変換）

• 因数分解：展開された形から、かっこの形に戻す操作（加法を掛け算の形に変換）

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✅ 2. 基本公式（絶対に覚えるべき）

◾ 展開公式

1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2

2. (a−b)2=a2−2ab+b2(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2

3. (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a – b) = a^2 – b^2(a+b)(a−b)=a2−b2

4. $a(b+c)=ab+ac$

◾ 因数分解公式（展開の逆）

1. a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2

2. a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2

3. a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)a2−b2=(a+b)(a−b)

4. $ab+ac=a(b+c)$

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✅ 3. 展開の解き方と考え方

▶ ポイント：

• 共通のルールは分配法則： 例）$3(x+2)=3x+6$

• 乗法公式を使って素早く展開： 例）(x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25(x+5)2=x2+10x+25

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📌 基本例題①：分配法則を使った展開

問題：次の式を展開せよ。

1. $2(x+3)$

2. $-5(x-4)$

3. $(x+2)(x+3)$

解答・途中式：

1. $2x+6$

2. $-5x+20$

3. x2+3x+2x+6=x2+5x+6x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6x2+3x+2x+6=x2+5x+6

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📌 基本例題②：公式を使った展開

問題：

1. (x+4)2(x + 4)^2(x+4)2

2. (2x−1)2(2x – 1)^2(2x−1)2

3. $(x+3)(x-3)$

解答：

1. x2+8x+16x^2 + 8x + 16x2+8x+16

2. 4×2−4x+14x^2 – 4x + 14x2−4x+1

3. x2−9x^2 – 9x2−9

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✅ 4. 因数分解の解き方と考え方

▶ ポイント：

• 項に共通の文字や数があるときは「共通因数」でくくる

• 公式を覚えて「かっこ」に戻す

• 3項式で出たら「公式の逆」として見抜く！

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📌 基本例題③：共通因数でくくる

問題：

1. $3x+6$

2. 4×2−2x4x^2 – 2x4x2−2x

解答：

1. $3(x+2)$

2. $2x(2x-1)$

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📌 基本例題④：公式を使った因数分解

問題：

1. x2+6x+9x^2 + 6x + 9x2+6x+9

2. 9×2−169x^2 – 169x2−16

3. x2−10x+25x^2 – 10x + 25x2−10x+25

解答：

1. (x+3)2(x + 3)^2(x+3)2

2. $(3x+4)(3x-4)$

3. (x−5)2(x – 5)^2(x−5)2

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✅ 5. 応用問題（展開と因数分解の融合）

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📌 応用問題①：展開と整理

問題：次の式を展開して整理せよ。

(x+2)2+(x−1)2(x + 2)^2 + (x – 1)^2(x+2)2+(x−1)2

解答：

=x2+4x+4+x2−2x+1=2×2+2x+5= x^2 + 4x + 4 + x^2 – 2x + 1 = 2x^2 + 2x + 5=x2+4x+4+x2−2x+1=2x2+2x+5

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📌 応用問題②：因数分解（複雑）

問題：

1. x2+5x+6x^2 + 5x + 6x2+5x+6

2. x2−4x−12x^2 – 4x – 12x2−4x−12

3. 6×2+13x+66x^2 + 13x + 66x2+13x+6

解答：

1. $(x+2)(x+3)$

2. $(x-6)(x+2)$

3. $(3x+2)(2x+3)$

※ 因数分解では「積がac、和がb」となる2数を見つけるのがポイント

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✅ 6. 練習問題（計10問）

【展開】

1. $x(x+5)$

2. (x−3)2(x – 3)^2(x−3)2

3. $(2x+1)(x-4)$

4. (a+b)2+(a−b)2(a + b)^2 + (a – b)^2(a+b)2+(a−b)2

【因数分解】

5. 5×2+10x5x^2 + 10x5x2+10x

6. x2+7x+10x^2 + 7x + 10x2+7x+10

7. x2−81x^2 – 81x2−81

8. 4×2+4x+14x^2 + 4x + 14x2+4x+1

9. 6×2−7x−56x^2 – 7x – 56x2−7x−5

10. x2−6x+9−y2x^2 – 6x + 9 – y^2x2−6x+9−y2

（答えは必要があれば提示します）

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✅ 7. まとめと学習アドバイス

アドバイス：

• どちらも「見てすぐに判断できる力」が大切

• 日々の練習と、公式の完全暗記が鍵です

• 教科書やワークで「型」を体に染み込ませましょう

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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