中学3年数学：図形「円」

✨ 1. 単元の概要

中学3年生で学習する「円」は、主に次の3つの観点からアプローチします。

• 円周角と中心角の性質
• 接線と円の関係
• 弧の長さと扇形の面積

これらを通して、図形における角度や長さの計算、証明、図形構成の力を養います。

✅ 2. 円周角と中心角

▶ 【基本公式】

• 中心角 = 円周角 × 2
• 同じ弧に対する円周角はすべて等しい

▶ 【例題1】

問題： 弧ABに対する中心角が80°のとき、弧ABに対する円周角は何度か？ 解答： 80° ÷ 2 = 40°

✅ 3. 接線の性質

▶ 【重要ポイント】

• 接線は接点における半径と垂直になる。
• 接線が2つあるとき、それらは中心からの距離が等しい。

▶ 【例題2】

問題： 円Oの接点Aにおける接線と半径OAのなす角は？ 解答： 90°（半径と接線は常に垂直）

✅ 4. 弧の長さと扇形の面積

▶ 【公式】

• 弧の長さ = − (2πr) × (中心角° / 360)
• 扇形の面積 = − (πr^2) × (中心角° / 360)

▶ 【例題3】

問題： 半径5cm、中心角60°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。 解答：

• 弧の長さ = 2π × 5 × (60/360) = (10π) × (1/6) = (5π)/3 cm
• 面積 = π × 25 × (60/360) = 25π × (1/6) = (25π)/6 cm²

✅ 5. 練習問題（多め）

▶ 【基礎】（10題）

1. 円周角が45°のとき、対応する中心角は？
2. 中心角100°に対応する円周角は？
3. 半径6cm、中心角90°のときの弧の長さを求めよ。
4. 半径10cm、中心角72°のときの扇形の面積を求めよ。
5. 接点Pにおいて、接線と半径OPがなす角度は？
6. 同じ弧に対する円周角はどうなる？
7. 円周角が同じでも、弧の長さが違う場合はあるか？
8. 扇形の面積が50πcm²、中心角が180°のとき、半径を求めよ。
9. 半径7cm、中心角120°のときの弧の長さを求めよ。
10. 円の中心から接線までの距離が5cm、半径が13cmのとき、接点までの長さを求めよ（ピタゴラスの定理利用）

▶ 【応用】（5題）

1. 弧ABと弧CDが同じ長さで、ABの中心角が60°、CDの中心角が90°。どちらの円の半径が大きいか？
2. 半径x cm、中心角θ°の弧の長さをs cmとしたとき、xの方程式を立てよ。
3. 半径10cmの円において、1周の円周長をπを使って表せ。
4. 扇形の面積を、弧の長さと半径だけを使って表す式を導出せよ。
5. 直径10cmの円に内接する正六角形の1つの角の円周角の大きさを求めよ。

✅ 6. ポイントまとめ

項目	ポイント
中心角と円周角	中心角 = 円周角 × 2
接線の性質	半径と直角／2本の接線の長さは等しい
弧と面積の公式	弧：2πr×(中心角/360)、面積：πr^2×(中心角/360)

✨ 7. 学習アドバイス

• 図を丁寧に描くことが円の問題では特に重要
• 接線と半径の直角関係を忘れずに！
• 弧や面積の公式は、必ず単位（cm or cm²）に注意
• 円周角と中心角の関係は、証明問題にもよく出るので論理で理解しておこう

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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