中学3年数学：図形「三平方の定理」

✨ 1. 単元の概要

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、直角三角形の3辺の関係を示す非常に重要な定理です。数学だけでなく、物理・工学・建築・測量など、あらゆる実用分野で活用されています。 定理の内容：

直角三角形において、斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しい。

つまり：

✅ 2. 用語の確認

用語	意味
直角三角形	一つの角が90°の三角形
斜辺	直角に対する一番長い辺
他の2辺	直角をはさんだ辺（短辺）

✅ 3. 公式とその応用

▶ 基本公式：

• a, b：直角をはさんだ2辺
• c：斜辺（直角に向かい合う辺）

▶ 応用形：

•  
• などの変形も重要です

✅ 4. 基本例題と解説

📌 例題1：斜辺を求める

問題： 直角三角形の2辺が3cmと4cmのとき、斜辺の長さを求めよ。 解答：

📌 例題2：他の1辺を求める

問題： 直角三角形の斜辺が13cm、1辺が5cmのとき、他の辺を求めよ。 解答：

✅ 5. 活用パターン別問題

📌 ① 正方形の対角線

問題： 一辺がx cmの正方形の対角線の長さを求めよ。 解答：

📌 ② 直角三角形であるかの判定

問題： 3辺が5cm、12cm、13cmの三角形は直角三角形か？ 解答：

✅ 6. 実生活応用問題

📌 例題：はしごと壁

問題： 地面から壁に立てかけたはしごの長さが10m、壁にかかった高さが8mのとき、地面から壁までの距離は？ 解答：

✅ 7. 証明の基礎（中学範囲）

三平方の定理の証明方法の一つとして、次のような図形の面積の比較による方法があります：

• 正方形の中に同じ三角形を並べ、面積を二通りに計算して一致させる

（図略）

✅ 8. 練習問題（豊富に）

▶ 基礎（10題）

1. a = 6cm, b = 8cm のとき、cを求めよ。
2. c = 10cm, b = 6cm のとき、aを求めよ。
3. a = 9cm, b = 12cm のとき、cを求めよ。
4. c = 17cm, a = 8cm のとき、bを求めよ。
5. 一辺5cmの正方形の対角線の長さを求めよ。
6. 3辺が7cm, 24cm, 25cmの三角形は直角三角形か？
7. はしごの長さが15m、高さが9mのとき、地面との距離は？
8. 辺が10cm, 24cm, 26cmの三角形は直角三角形か？
9. 正三角形を高さで2分割したときの高さを求めよ。
10. 対角線が5√2cmの正方形の1辺を求めよ。

✅ 9. ポイントまとめ

概念	内容
三平方の定理	直角三角形で
応用範囲	辺の長さの計算、判定、図形構成
よく使う図形	正方形、直角三角形、長方形、等腰直角三角形
注意点	斜辺は必ず直角の向かい側

✨ 10. 学習アドバイス

• a² + b² = c²のどこが斜辺かを見極める練習を反復しよう
• 暗算よりも式と途中式を丁寧に書くことがミス防止になる
• 正方形・直角三角形・長方形の複合図形に慣れておくと入試でも有利
• 証明のアイディアは「面積」「合同」「図の分割」に注目するとよい

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【監修者】	宮川涼
プロフィール	早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。

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