中学3年数学：図形「円」
✨ 1. 単元の概要
中学3年生で学習する「円」は、主に次の3つの観点からアプローチします。- 円周角と中心角の性質
- 接線と円の関係
- 弧の長さと扇形の面積
✅ 2. 円周角と中心角
▶ 【基本公式】
- 中心角 = 円周角 × 2
- 同じ弧に対する円周角はすべて等しい
▶ 【例題1】
問題： 弧ABに対する中心角が80°のとき、弧ABに対する円周角は何度か？ 解答： 80° ÷ 2 = 40°✅ 3. 接線の性質
▶ 【重要ポイント】
- 接線は接点における半径と垂直になる。
- 接線が2つあるとき、それらは中心からの距離が等しい。
▶ 【例題2】
問題： 円Oの接点Aにおける接線と半径OAのなす角は？ 解答： 90°（半径と接線は常に垂直）✅ 4. 弧の長さと扇形の面積
▶ 【公式】
- 弧の長さ = （2πr） × （中心角° / 360）
- 扇形の面積 = （πr²） × （中心角° / 360）
▶ 【例題3】
問題： 半径5cm、中心角60°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。 解答：- 弧の長さ = 2π × 5 × (60/360) = (10π) × (1/6) = (5π)/3 cm
- 面積 = π × 25 × (60/360) = 25π × (1/6) = (25π)/6 cm²
✅ 5. 練習問題（多め）
▶ 【基礎】（10題）
- 円周角が45°のとき、対応する中心角は？
- 中心角100°に対応する円周角は？
- 半径6cm、中心角90°のときの弧の長さを求めよ。
- 半径10cm、中心角72°のときの扇形の面積を求めよ。
- 接点Pにおいて、接線と半径OPがなす角度は？
- 同じ弧に対する円周角はどうなる？
- 円周角が同じでも、弧の長さが違う場合はあるか？
- 扇形の面積が50πcm²、中心角が180°のとき、半径を求めよ。
- 半径7cm、中心角120°のときの弧の長さを求めよ。
- 円の中心から接線までの距離が5cm、半径が13cmのとき、接点までの長さを求めよ（ピタゴラスの定理利用）
▶ 【応用】（5題）
- 弧ABと弧CDが同じ長さで、ABの中心角が60°、CDの中心角が90°。どちらの円の半径が大きいか？
- 半径x cm、中心角θ°の弧の長さをs cmとしたとき、xの方程式を立てよ。
- 半径10cmの円において、1周の円周長をπを使って表せ。
- 扇形の面積を、弧の長さと半径だけを使って表す式を導出せよ。
- 直径10cmの円に内接する正六角形の1つの角の円周角の大きさを求めよ。
✅ 6. ポイントまとめ
| 項目 | ポイント |
|---|---|
| 中心角と円周角 | 中心角 = 円周角 × 2 |
| 接線の性質 | 半径と直角／2本の接線の長さは等しい |
| 弧と面積の公式 | 弧：2πr×(中心角/360)、面積：πr^2×(中心角/360) |
✨ 7. 学習アドバイス
- 図を丁寧に描くことが円の問題では特に重要
- 接線と半径の直角関係を忘れずに！
- 弧や面積の公式は、必ず単位（cm or cm²）に注意
- 円周角と中心角の関係は、証明問題にもよく出るので論理で理解しておこう
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| 【監修者】 | 宮川涼 |
| プロフィール | 早稲田大学大学院文学研究科哲学専攻修士号修了、同大学大学院同専攻博士課程中退。日本倫理学会員 早稲田大学大学院文学研究科にてカント哲学を専攻する傍ら、精神分析学、スポーツ科学、文学、心理学など幅広く研究に携わっている。 |
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